Définition

\(\triangleright\) Définition de la fonction d'onde

La fonction d'onde est une fonction mathématique \(\Psi(\vec r,t)\) qui est susceptible de décrire le comportement d'une particule dans l'espace.
Elle est la représentation de l'état \(\ket{\Psi(t)}\) dans la base \({\vec r}\) (Physique quantique (Représentation))
$$\Psi(\vec r)={{\langle{\vec r|\Psi}\rangle }}$$

Expressions

\(\triangleright\) Expression de la fonction d'onde à un instant \(t\) (Dirac)

On cherche l'expression de \(\ket{\Psi(t)}\).

1. \(\ket{\Psi(t_0)}\) est un ket propre de \(\hat H\) (Vecteurs propres)

On suppose que le spectre de \(\hat H\) est discret et non dégénéré.
$$\ket{\Psi(t)}={{e^{-\frac i\hslash (t-t_0)E_n}\ket{E_n} }}$$
Alors \(\ket{\Psi(t)}\) et \(\ket {E_n}\) différent d'un facteur de phase, c'est-à-dire qu'ils représentent le même état physique.
Un système préparé dans un état propre de \(\hat H\) reste dans cet état propre quelque soit \(t\gt t_0\) (état stationnaire)

1. \(\ket{\Psi(t_0)}\) n'est pas un ket propre de \(\hat H\) (Vecteurs propres)

$$\ket{\Psi(t)}={{\sum_nc_n(t)\ket{E_n} }}\qquad c_n(t)={{c_n(t_0)e^{-\frac{i}{\hslash}(t-t_0)E_n } }}$$
Avec \(c_n(t)\) les coefficients de Dirac
Ici, l'état va évoluer dans un état différent.
START
Exo-Démo+
Expression de \(\ket{\Psi(t)}\) lorsque \(\ket{\Psi(t_0)}\) est une valeur propre de \(\hat H\)
$$\hat H\ket{\Psi(t_0)}=E_n\ket{\Psi(t_0)}$$
On place $$\ket{\Psi(t_0)}=\ket {E_n}$$
$$\hat H\ket {E_n}=E_n\ket{E_n}$$
1i:
2: $$\ket{\Psi(t)}=\hat u(t,t_0)\ket{\Psi(t_0)}=\hat u(t,t_0)\ket{E_n}$$
3:$$\ket{\Psi(t)}=e^{-\frac i\hslash(t-t_0)\hat H}\ket {E_n}$$
4: On développe en série entière:
$$$\(
END
START
Exo-Démo+
Expression de \)\ket{\Psi(t)}\( lorsque \)\ket{\Psi(t_0)}\( n'est pas une valeur propre de \)\hat H\(
On sait que:
\)$\begin{cases}\langle{E_i|E_j}\rangle =\delta_{i_j}\\ \sum_n\ket {E_n}\bra {E_n}=\Bbb 1\end{cases}$$
1i:
2: $$\ket{\Psi(t_0)}=\sum_n\ket {E_n}\bra {E_n}\ket{\Psi(t_0)}$$
On note \(c_n(t_0)=\bra E_n\ket{\Psi(t_0)}\)
END

Caractéristiques

\(\triangleright\) Caractéristique des fonctions d'ondes

L'ensemble des fonctions d'ondes forme un Espaces vectoriels complexe \(\mathcal H\). Si \(\Psi_1,\Psi_2\in \mathcal H\) alors la somme et le produit par une constante complexe appartiennent aussi à cet ensemble.
$$(\Psi_1 +\Psi_2)\in \mathcal H$$
$$\lambda\Psi_1\in\mathcal H \quad ,\lambda \in \Bbb C$$
Densité de probabilité de présence

\(\triangleright\) Notation de Dirac

Avec la notation de Dirac, on convient de représenter l'état quantique d'une fonction d'onde \(\Psi\) par le symbole \(\ket{\Psi}\), nommé \(ket\).
Cette notation apporte une vision vectorielle de la fonction d'onde et permet de représenter n'importe quel état quantique dans l'Espace des états (le spin par exemple).

Exemples

Fonction d'onde d'une onde plane
Fonction d'onde d'un paquet d'onde Gaussien

Propriétés

\(\triangleright\) Propriété d'une fonction d'onde

Soit deux fonctions d'onde \(\Psi_1\) et \(\Psi_2\).
Alors, les états décrivent le même état si:
$$\Psi_1={{e^{i\alpha}\Psi_2}}$$
Cela veut dire que les fonctions d'onde décrivent le même système, puisqu'elle on la même Densité de probabilité de présence.

Produit scalaire

Afin de pouvoir distinguer quantitativement deux fonctions d'ondes, on introduit le produit scalaire.
Produit scalaire Hermitien

Norme

Norme d'une fonction d'onde

Normalisation

\(\triangleright\) Normalisation de la fonction \(\Psi\)

On parle de normalisation d'un fonction d'onde lorsque $$||\Psi||=1$$
$$||\Psi||^2\iff \langle\Psi|\Psi\rangle=1$$
Or, \(\langle\Psi|\Psi\rangle=\int_{\Bbb R}|\Psi(x)|^2 dx\)
Par conséquent, \(||\Psi||=1\) signifie que la surface sous la courbe de la fonction d'onde est égale à 1.
\(\implies\) la Densité de probabilité de présence est égale à 1.
Pour le vecteur \(\ket{\Psi}\), cela signifie que sa norme est égale à 1.

\(\triangleright\) Propriétés utiles

Avec \(\lambda \in \Bbb C\)
$$\langle\Psi_1|\Psi_2\rangle= \overline{\langle\Psi_2|\Psi_1\rangle}(conjugué)$$
$$\langle\lambda\Psi_1|\Psi_2\rangle=\bar\lambda\langle\Psi_1|\Psi_2\rangle$$
$$\langle\Psi_1+\Psi_2|\Psi_3\rangle=\langle\Psi_1|\Psi_3\rangle+\langle\Psi_2|\Psi_3\rangle$$

Colinéarité des vecteurs de fonctions d'ondes

Pour que deux vecteurs de fonctions d'ondes soit colinéaires, il faut qu'ils vérifient ces deux inégalités:

• Inégalité de Schwartz pour les fonctions d'ondes
• Inégalité triangulaire pour les fonctions d'ondes

Remarques

\(\triangleright\) Description d'un état physique grâce aux fonctions d'ondes

Les fonctions d'ondes ne peuvent représenter une situation physique si et seulement si elles sont de carré sommable.
En d'autres termes, il faut que ces fonctions appartiennent à l'Espace de Hilbert Il ne faut pas oublier que si la fonction diverge, elle ne peut pas non plus représenter un état physique.

Potentiels

\(\triangleright\) Potentiels à discontinuité

1. Discontinuité finie

La fonction et sa dérivé sont continues au point de discontinuité du potentiel si cette dernière est finie.

1. Discontinuité infinie

Seule la fonction est continue au point de discontinuité du potentiel si cette dernière est infinie.